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Soit le théorème : « Soit f une fonction continue sur un intervalle I et strictement monotone. Alors f est injective et se corestreint à son image en une bijection ». L’assertion proposée est-elle équivalente à l’assertion « Alors f est injective et l’application f de I vers f(I) est bijective ». Cocher la bonne réponse.
Soit l’énoncé : « Continuité des fonctions dérivables : Pour qu’une fonction f définie sur un intervalle ouvert I soit continue en x0 I, (…) que f soit dérivable en x0 ». Les trois points mis entre parenthèses remplacent l’une des trois expressions suivantes. Cocher la bonne réponse.
Une fonction qui n’est pas bijective peut être ni injective ni surjective Soit l’assertion « Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I. Si f admet en x un extremum local (minimum ou maximum), alors f’(x)=0 » ». La proposition « f admet en x un extremum local (minimum ou maximum » est-elle une condition suffisante ou nécessaire pour la proposition « f’(x)=0 » ?
Soit l’assertion « Toute série réelle ou complexe absolument convergente est convergente ». Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies
Soit l’assertion : « La limite d’une suite réelle ou complexe, en cas d’existence (dans R ou dans C), est unique ». L’expression soulignée peut-être remplacée par d’autres expressions. Cocher dans la liste suivante ceux qui peuvent convenir.
Théorème de Cauchy-Lipchitz : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, à valeurs dans K = ou , et S l’ensemble des solutions à valeurs dans K de l’équation y′ = f(x)y +g(x). Soit x0 un élément de I. Alors il existe une et une seule solution y de l’équation différentielle telle que y(x0) = y0». Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont équivalentes à l’assertion soulignée
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I ouvert. Soit l’assertion : « Si f admet un extremum local en x, alors f’(x)=0 ». Soit la définition : « On dit que x de I est un point critique de f si f’(x)=0 ». Est-ce que « x de I est un point critique de f » est une condition nécessaire pour que f admette un extremum local en x de I ? Cocher la bonne réponse.
« Théorème fondamental du calcul des intégrales : Soit f une fonction continue sur ». Soit F une primitive de f. Alors = F(b)-F(a) ». Parmi les assertions suivantes, cocher celles qui sont vraies.
Soit l’énoncé : « Soit X un sous-ensemble de . Si aX et si f admet une limite en a, alors cette limite est nécessairement égale à f(a). » Si l’on supprime le mot « nécessairement », cet énoncé reste-t-il vrai ? Cocher la bonne réponse.
Soit l’énoncé : « Théorème des valeurs intermédiaires : Soit f une fonction continue sur telle que f(a)f(b)0. Alors il existe c tel que f(c)=0 ». L’assertion « Si pout tout c , f(c)0, alors f(a)f(b)0 » est-elle vraie ? Cocher la bonne réponse.
il en découle que
Voici un extrait d’une démonstration : « Soient A et deux évènements indépendants. Comme A et forment une partition de l’univers, on a P(B)=P(A et donc P(B) - P(A». Le mot souligné peut-être remplacé par d’autres mots. Cocher dans la liste suivante ceux qui peuvent convenir.
Soit l’énoncé : « Une fonction monotone f sur un sous-ensemble I de est injective sur ce sous-ensemble ». Pour démontrer cette assertion, peut-on montrer que « si f n’et pas injective sur I, alors f n’est pas monotone » ? Cocher la bonne réponse.
Soit l’extrait suivant d’une démonstration : « f est une fonction définie sur » par f(x) = ex-x. (1) f est la différence de deux fonctions dérivables, f est dérivable et on a, pour tout réel x, f’(x)= ex-1. (2), ex-10 équivaut à ex1 c’est-à-dire ex e0 soit x0. De plus, f(0)= e0 - 0=1, donc pour tout nombre réel x, f(x) 1 et en particulier f(x) 0. (3), pour tout réel x, ex-x 0 (4) exx ». Remplacer les chiffres mis entre parenthèses par l’un des termes proposés ci-dessous, en inscrivant le bon numéro dans la case correspondante. c’est-à-dire
Soit l’énoncé : « Quels que soient deux entiers a et b dont l’un au moins n’est pas nul, il existe deux entiers x et y tels que ax+by = PGCD (a,b) ». Cet énoncé est-il équivalent à l’énoncé «Il existe deux entiers x et y tels que quels que soient deux entiers a et b dont l’un au moins n’est pas nul ax+by = PGCD (a,b) ? Cocher la bonne réponse.
Soit l’énoncé : « Soit (Un) et (Vn) avec n deux suites équivalentes. Alors, il existe n0 tel que, pour tout n n0, Un et Vn soient de même signe ». La proposition « (Un) et (Vn) avec n sont deux suites équivalentes » est-elle suffisante pour que la proposition «il existe n0 tel que, pour tout n n0, Un et Vn soient de même signe « soit vraie ? Cocher la bonne réponse.
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